4 × 0 !
Ne regardez plus le reste de l’opération.
Que signifie le point d’exclamation ?
Dans ce contexte, il ne s’agit pas d’un signe de ponctuation exprimant la surprise.
Il représente une opération mathématique appelée la factorielle.
La factorielle d’un nombre entier positif consiste à multiplier ce nombre par tous les entiers positifs qui le précèdent.
Par exemple :
4 ! = 4 × 3 × 2 × 1
Ce qui donne :
4 ! = 24
Mais ici, nous n’avons pas 4 !.
Nous avons 0 !.
Et c’est justement là que le piège devient intéressant.
Beaucoup de personnes oublient cette règle
Lorsqu’on voit 0 !, on peut avoir une réaction immédiate :
« Zéro multiplié par quelque chose donne zéro. »
Mais ce n’est pas ce que signifie l’expression.
Le point d’exclamation transforme le zéro en une factorielle.
En mathématiques, 0 ! est défini comme égal à 1.
C’est une règle fondamentale de la factorielle.
Donc :
0 ! = 1
Et par conséquent :
4 × 0 ! = 4 × 1
Ce qui donne :
4
Voilà pourquoi le résultat n’est pas 20.
Mais ne vous arrêtez pas encore.
Il faut maintenant appliquer correctement toutes les opérations dans le bon ordre.
Pourquoi 0 ! vaut-il 1 ?
Cette règle peut sembler étrange au premier abord.
Pourquoi la factorielle de zéro serait-elle égale à 1 alors que le nombre lui-même est zéro ?
La réponse vient notamment de la manière dont les factorielles sont définies.
Pour les nombres positifs, on a :
1 ! = 1
2 ! = 2 × 1 = 2
3 ! = 3 × 2 × 1 = 6
4 ! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
On peut également utiliser la relation :
n ! = n × (n − 1) !
Prenons n = 1 :
1 ! = 1 × 0 !
Or nous savons que :
1 ! = 1
Il faut donc nécessairement que :
0 ! = 1
Cette convention permet de conserver les propriétés mathématiques de la factorielle.
Ce n’est donc pas une astuce inventée spécialement pour ce défi.
C’est une véritable règle mathématique.
Faites maintenant le calcul étape par étape
Reprenons l’expression complète :
4 × 4 + 4 + 4 × 0 !
La première chose à faire est de calculer la factorielle.
On sait que :
0 ! = 1
L’expression devient donc :
4 × 4 + 4 + 4 × 1
Il faut ensuite respecter les priorités de calcul.
Les multiplications sont effectuées avant les additions.
On calcule donc :
4 × 4 = 16
et :
4 × 1 = 4
L’expression devient :
16 + 4 + 4
Il ne reste plus qu’à additionner :
16 + 4 = 20
Puis :
20 + 4 = 24
Vous avez maintenant le résultat.
Mais avant de le révéler officiellement, vérifiez votre propre calcul une dernière fois.
Attention à une autre erreur possible
Certaines personnes peuvent essayer de calculer l’opération strictement de gauche à droite.
Elles feraient alors :
4 × 4 = 16
Puis :
16 + 4 = 20
Puis continueraient avec le reste.
Cette méthode n’est pas correcte lorsqu’il y a des multiplications et des additions mélangées.
En mathématiques, les opérations possèdent des priorités.
Les multiplications doivent être effectuées avant les additions, sauf lorsqu’une parenthèse impose un autre ordre.
Ici, il n’y a aucune parenthèse.
Il faut donc commencer par les multiplications, après avoir correctement interprété la factorielle.
C’est une double difficulté qui peut facilement provoquer une erreur.
Prenez encore quelques secondes
Regardez l’expression une dernière fois :
4 × 4 + 4 + 4 × 0 !
Posez-vous trois questions.
Que vaut 0 ! ?
Quelle est la priorité entre multiplication et addition ?
Et combien donne finalement l’ensemble ?
Si vous avez répondu 24, vous avez probablement repéré le piège.
Si vous avez répondu 20, vous avez simplement traité le zéro comme un zéro ordinaire et oublié la factorielle.
Ce n’est pas étonnant : le point d’exclamation est très discret et peut facilement être interprété comme un simple élément de la mise en page.
La bonne réponse est…
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